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スペクトル解析



 与えられた信号をフーリェ変換によって解析することをスペクトル解析(Spectral Analysis)、あるいはフーリェ解析(Fourier Analysis)と呼ばれる。

 スペクトル解析をするには、長い信号系列を適度な長さに切り出した後にそれに対して離散フーリェ変換もしくは高速フーリェ変換をかける必要がある。ここで信号を切り出すために通常窓関数(Window Function)が使われている。

 無限長の信号x(n)の離散時間フーリェ変換
 

を考えた場合、この信号x(n)からN点切り出して得られた信号をxω(n)とする。
 

 ここで、w(n)はn=0〜N-1以外では0となる信号で、窓関数と呼ばれる。上式の離散時間フーリェ変換を取ると、
 

が得られる。

 有限長信号の周波数スペクトルXw(e)は無限長信号の周波数スペクトルX(eω)と窓関数の周波数スペクトルW(e)の周波数軸上の畳み込みとなる。W(e)=2πδ(ω)であり、それが理想的な線スペクトルであれば、Xw(e)=X(e)となる。しかし、W(e)は有限の幅のスペクトルを持つため、畳み込みによってXw(e)はX(e)と違ってくる。

 信号cos(nπ/8)
 

を矩形窓関数(下左図)で切り出し、下右図の信号を得る。
 

矩形窓関数(下左図)および切り出された信号のスペクトル(下右図)は以下のようになる。
 



窓関数による信号の切り出し



参考書:
1. ディジタル信号処理―MATLAB対応
2. シミュレーションで学ぶディジタル信号処理―MATLABによる例題を使って身につける基礎から応用
3. ディジタル信号処理とDSP―パソコンによるシミュレーションとDSPプログラミング

 
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